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「円周率が3.05より大きいことを証明せよ。」

ダーミンがおもしろい問題を教えてくれました。
数年前の東大の入試問題だったんだってー。

前回の前フリは「円周率が3より大きいことを証明」でした。
今日は「円周率が3.05より大きいことの証明」について書いてみます。
ネットで見つけた三平方の定理で解けるヤツ。
中3のナルルには分かるよね(^_-)-☆


方針としては前フリの「3」バージョンと同じで、弧>弦を目指します。

1. 半径5の円の1/4
円周率305b

2. ox,oy上にx',y'をox'=oy'=4となるようにとる。
円周率305c

3. oxの垂線をx'から引き、弧xyとの交点をaとする。
円周率305d

4. 同様にy'からのoyの垂線と弧xyが交わる点をbとする。
円周率305e

5. △aox'は直角三角形であり、辺の長さは以下のとおり。
ox'=4、oa=5(半径)
三平方の定理を使って、
ax'=3

同様に by'=3
円周率305f

6. △axx'は直角三角形であり、辺の長さは以下のとおり。
ax'=3、xx'=1
三平方の定理を使って、
ax=√10

同様に by=√10
円周率305g

7. aからoyへ、bからoxへそれぞれ垂線を引き、弦abを斜辺とする直角二等辺三角形を作る。
直角をはさむ2辺の長さはそれぞれ1なので、ab=√2
円周率305h

8. 弧>すべての弦の合計 なので、

5/2×π>2√10+√2

√10=3.16…(√2×√5でも求められる。)
√2=1.414…

なので、

5/2×π>2×3.16+1.41
5/2×π>7.73
π>3.092



ゆえに円周率は3.05より大きい   オミゴト

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